Chapter 1 向量空间

Youmans Yu原创大约 4 分钟

线性代数学习笔记第一章，参考教材为《Linear Algebra Done Right》。

$\bf R^n \& \bf C^n$

Def:复数是一个有序对(a,b),其中a,b $\in\bf R$ ,我们将其写作 $a+bi$ . 所有复数构成的集记作 $\bf C=\{a+bi:a,b\in\bf R\}$
加法和乘法定义如下( $i^2=-1$ )：

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

复数的算数性质( $\alpha,\beta,\lambda\in\bf C$ $α, β, λ \in C$ )
- 交换性: $\alpha+\beta=\beta+\alpha$ , $\alpha\beta=\beta\alpha$
- 结合性: $(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)$ , $(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)$
- 单位元: $\lambda+0=\lambda$ , $\lambda1=\lambda$
- 加法逆: 对于每一个 $\alpha$ ,存在唯一的 $\beta$ ,s.t. $\alpha+\beta=0$
- 乘法逆: 对于每一个 $\alpha$ ,存在唯一的 $\beta$ ,s.t. $\alpha\beta=1$
- 分配性质: $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$
由加法逆和乘法逆的唯一性可以进一步定义减法和乘法:,记 $\alpha$ 的加法逆为 $-\alpha$ ,乘法逆为 $1/\alpha$ ,则减法和除法定义如下:

\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)

\beta/\alpha=\beta(1/\alpha)

组和长度
设 $n$ 为非负整数,长度为 $n$ 的组是 $n$ 个有顺序的元素,这些元素用逗号隔开并且两端用括弧括起来(元素可以是数,其他组或更抽象的东西).长度为 $n$ 的组具有如下的形式:

(x_1,...,x_n)

两个组相等当且仅当它们长度相等并且所含的元素及元素的顺序也相同.长度为 $n$ 的组也成为 $n$ 元组.每个组的长度都是有限的.

\bf F^n=\{(x_1,...x_n):x_i\in\bf F,j=1,...,n\}

对于 $(x_1,...x_n)\in\bf F^n$ 以及 $j\in{1,...,n}$ ,称 $x_j$ 是 $(x_1,...x_n)$ 的第 $j$ 个坐标,称 $\bf F^n$ 中的元素为向量

$\bf F$ $F$ 中的加法: $(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n)=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$ $(x_{1}, ..., x_{n}) + (y_{1}, ..., y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, ..., x_{n} + y_{n})$
- 交换性: $x,y\in\bf F,x+y=y+x$
- 单位元: $0=(0,...,0)$
- $\forall x\in \bf F^n,x+0=x$
- 加法逆: $x\in\bf F,x$ 的加法逆定义为满足 $x+(-x)=0$ 的元素 $-x\in\bf F^n$ ,即若 $x=(x_1,...,x_n)$ , $-x=(-x_1,...,-x_n)$
$\bf F$ 中的标量乘法
一个数 $\lambda\in\bf F$ 与 $\bf F^n$ 中一个向 $(x_1,...,x_n)$ 量的乘积定义如下:

\lambda(x_1,...,x_n)=(\lambda x_1,...,\lambda x_n)

加法和乘法的重新定义
- 集合 $V$ 上的加法是一个函数,它把每一对 $u,v\in V$ 都对应到 $V$ 的一个元素 $u+v$ .
- 集合 $V$ 上的标量乘法是一个函数,它把 $\forall \lambda\in \bf F$ 和 $v\in V$ 对应到一个元素 $\lambda v\in V$
向量空间:带有加法和标量乘法的集合 $V$ $V$ ,满足如下性质:
- 交换性
  对所有 $u,v\in V$ ,都有 $u+v=v+u$
- 结合性
  对所有 $u,v,w\in V$ 和 $a,b\in \bf{F}$ 都有 $(u+v)+w=u+(v+w)$ 和 $(ab)v=a(bv)$
- 加法单位元
  存在元素 $0\in V$ 使得对于所有 $v\in V$ 都有 $v+0=v$
- 加法逆元
  对于每个 $v\in V$ 都存在 $w\in V$ s.t. $v+w=0$
- 乘法单位元
  对所有 $v\in V$ 都有 $1v=v$
- 分配性质
  对所有 $a,b\in \bf{F}$ 和 $u,v\in V$ 都有 $a(u+v)=au+av)$ 和 $(a+b)v=av+bv$
- 向量空间中的元素成为向量或点
- $\bf{R}$ 上的向量空间成为实向量空间; $\bf{C}$ 上的向量空间称为复向量空间
- 基本性质
  - 加法单位元唯一
  - 加法逆元唯一 $\Rightarrow$ $-v$ ,减法
  - 数0乘以向量: $\forall v\in V,0v=0$
  - 数乘以向量0: $\forall a\in \bf{F},a0=0$
  - 数 $-1$ 乘以向量: $\forall v\in V, (-1)v=v$

def:如果 $V$ 的子集 $U$ (采取与 $V$ 相同的加法和乘法)也是向量空间,那么称 $U$ 为 $V$ 的子空间

U_1+...+U_n\ ={u_1+...+u_n:u_1\in U_1,...,u_n\in U_n}

设 $U_1,...U_n$ 都是 $V$ 的子空间.
和 $U_1+...+U_n$ 称为直和如果 $U_1+...+U_n$ 中的每一个元素都可以唯一地表示为 $u_1+...+u_n$ ,其中每一个 $u_j\in U_j$ ,记作:

U_1\oplus...\oplus U_n

直和的条件
设 $U_1,...U_n$ 都是 $V$ 的子空间, $U_1+...+U_n$ 是直和 $\Leftrightarrow$ 0表示成 $u_1+...+u_n$ 的唯一方式是每一个 $u_j=0$
设 $U$ 和 $V$ 都是 $V$ 的子空间,那么 $U+V$ 是直和 $\Leftrightarrow$ $U\cap W=0$