Chapter 2 有限维向量空间

线性代数学习笔记第二章，参考教材为《Linear Algebra Done Right》。

2.A 张成空间与线性无关

线性组合和张成空间

• 线性组合
  $V$中一组向量$v_1,v_2,...,v_m$的线性组合是指形如:$a_1v_1+...+a_nv_n$的向量,其中$a_1,...,a_n\in\bf F$
• 张成空间
  $V$中一组向量$v_1,...,v_m$的所有线性组合的集合成为$v_1,...,v_m$的张成空间,记为span$(v_1,...v_m)$,空向量组的张成空间定义为$\{0\}$

  $$span(v_1,...,v_,)=\{a_1v_1+...+a_mv_m:a_1,...,a_m\in\bf F\}$$

  张成空间是包含这一组向量的最小子空间.

proof:
首先证明span$(v_1,...,v_n)$是$V$的子空间:
加法单位元:
$0=0v_1+...+0v_n$
加法封闭性:
$(a_1v_1+...+a_nv_n)+(c_1v_1+...+c_nv_n)=(a_1+c_1)v_1+..._(a_n+c_n)v_n\in \mathrm{span}(v_1,...,_n)$
标量乘法封闭性略
由于每一个$v_j$都是$v_1,...,v_n$的线性组合,因此span$(v_1,...,v_n)$包含没一个$v_j$,而子空间对加法和标量乘法封闭,则$V$包含每一个$v_j$的子空间必然包含span$(v_1,...v_n)$
$\mathrm{Q.E.D}$

若$v_1,...,v_n$的张成空间为$V$,称这组向量张成$V$

• 有限维向量空间
  如果一个向量空间可以由该空间中的某个向量组张成,则称这个向量空间是有限维的.

• 多项式
  对于函数$p:\bf F\rightarrow\bf F$,若存在$a_1,...,a_n\in\bf F$使得对于任意$z\in\bf F$均有$p(z)=a_0+a_1z+...+a_nz^n$,则称$p$为系数属于$\bf F$的多项式.
  $\mathcal{P}(\bf F)$是系数属于$\bf F$的全体多项式的集合.

• 多项式的次数
  对于多项式$p\in\mathcal{P}$,若存在标量$a_1,...,a_n\in\bf F$,其中$a_m\neq 0$,使得对于任意$z\in\bf F$有:$p(z)=a_0+...+a_nz^n$,则说$p$的次数为$n$.若$p$的次数为$n$,记做$\mathrm{deg}\ p=n$
  规定恒等于$0$的多项式的次数为负无穷
  对于非负整数$m$,用$\mathcal P(\bf F)$表示在$\bf F$中且次数不超过$m$的所有多项式构成的集合.
  如果一个向量空间不是有限维的,那么它是无限维的.

线性无关

• 线性无关
  $V$中一组向量组$v_1,...,v_m$称为线性无关,如果使得$a_1v_1+...+a_mv_,$等于$0$的$a_1,...,a_m\in\bf F$只有$a_1=...=a_m=0$.
  规定空组$()$是线性无关的.
  $v_1,...,v_m$是线性无关的当且仅当$\mathrm{span}(v_1,...,v_m)$中的每个向量都可以唯一地表示为$v_1,...,v_m$的线性组合

• 线性相关
  $V$中的一组响亮如果不是线性无关的,那么它们线性相关.
  也就是说$V$中一组向量$v_1,...,v_m$线性相关当且进当存在不全为$0$的$a_1,...,a_m\in\bf F$使得$a_1v_1+...a_mv_m=0$
  包含$0$向量的向量组线性相关

• 线性相关性引理
  设$v_1,...,v_m$是$V$中一个线性相关的向量组.则有:$j\in{1,2,...,m}$ s.t.
  (1)$v_j\in\mathrm{span}(v_1,...,v_{j-1})$
  (2)若从$v_1,...,v_m$中去掉第$j$项,则剩余向量组的张成空间等于$\mathrm{span}(v_1,...,v_m)$

proof:
由于向量组线性相关,$\exists a_1,...,a_m\in\bf F$,s.t.

$$a_1v_1+...+a_mv_m=0$$

设$j$为使得$a_j\neq 0$的最大者:

$$v_j=-\frac{1_a}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1}$$

(1)证毕
设$\\u\in\mathrm{span}(v_1,...,v_m)$,$\exists c_1,...,c_m\in\bf F$,s.t.

$$u=c_1v_1+...+c_mv_m$$

带入$v_j$的表达式
(2)证毕

推论:在有限维向量空间中,线性无关向量组的长度小于等于向量空间的每一个张成组的长度.
推论:有限维向量空间的子空间都是有限维的.

2.B 基

• 基
  def:若$V$中的一个向量组既线性无关又张成$V$,则成为$V$的基.
• 判定准则
  $V$中的向量组$v_1,...,v_m$是$V$的基当且仅当没一个$v\in V$都能唯一地表示为:

  $$v=a_1v_1+...+a_mv_m$$

  其中$a_1,...,a_m\in\bf F$
• 张成组含有基
  在向量空间中,每个张成组都可以简化为一个基.
  推论1:每一个有限维向量空间都有基.
  推论2:在有限维向量空间中,每个线性无关的想两组都可以扩充为向量空间的基
  推论2的推论:设$V$是有限维的,$U$是$V$的子空间,则存在$V$的子空间$W$使得$V=U\oplus W$

2.C 维数

• 引理:基的长度不依赖于基的选取

• 维数 $\mathrm{dim}\ V$
  有限维向量空间的任意基的长度称为这个向量空间的维数,有限维向量空间$V$的维数记做$\mathrm{dim}\ V$

  若$V$是有限维的,$U$是$V$的子空间,则$\mathrm{dim}\ U\leq\mathrm{dim} V$

• 如果所讨论的向量组具有$\mathrm{dim}\ V$的长度,那么:

  • 若此向量组为线性无关组,则它是一组基
  • 若此向量组为张成组,则它是一组基

• 和空间的维数
  若$U_1,U_2$是有限维向量空间的两个子空间,则:

  $$\mathrm{dim}\ U_1+U_2=\mathrm{dim}\ U_1+\mathrm{dim}\ U_2-\mathrm{dim}\ (U_1\cap U_2)$$