Chapter 10 迹与行列式

线性代数学习笔记第十章，参考教材为《Linear Algebra Done Right》。

10.A 迹

基的变更

• 定义: 单位矩阵,$I$
  设$n$是正整数,$n\times n$对角矩阵:

$$\begin{pmatrix} 1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&1 \end{pmatrix}$$

称为单位矩阵,记作$I$.

• 可逆的 逆
  方阵$A$成为可逆的,如果存在一个同样大小的方阵$B$使得$AB=BA=I$,称$B$是$A$的逆,记作$A^{-1}$
• 线性映射之积的矩阵
  假设$u_1,...,u_n$和$v_1,...,v_n$以及$w_1,...,w_n$都是$V$的基.设$S,T\in\mathcal L(V)$.则:

$$\begin{aligned} &\mathcal M(ST,(u_1,...,u_n),(w_1,...,w_n))=\\ &\mathcal M(S,(v_1,...,v_n),(w_1,...,w_n))\mathcal M(T,(u_1,...,u_n),(v_1,...,v_n)) \end{aligned}$$

• 恒等算子关于两个基的矩阵
  设$u_1,...,u_n$和$v_1,..,v_n$都是$V$的基,则矩阵$\mathcal M(I,(u_1,...,u_n),(v_1,...,v_n))$和$\mathcal M(I,(v_1,...,v_n),(u_1,...,u_n))$都是可逆的,且它们互为逆
• 基变更公式
  设$T\in\mathcal L(V)$,令$u_1,...,u_n$和$v_1,...,v_n$是$V$的基, $A=\mathcal M(I,(u_1,...u_n),(v_1,...,v_n))$则:

$$\mathcal M(T,(u_1,...,u_n))=A^{-1}\mathcal L(T,(v_1,...,v_n))A$$

迹:算子和矩阵间的联系

• 算子的迹
  设$T\in\mathcal L(V)$
  • 若$\bf F=C$,则$T$的迹等于$T$的按重数重复的全体本征值之和
  • 若$\bf F=R$,则$T$的迹等于$T_{\bf C}$的按重数重复的全体本征值之和

T的迹记作$\text{trace}\ T$

• 迹和特征多项式
  设$T\in\mathcal L(V)$,$n=\text{dim}\ V$则$\text{trace}\ T$等于$T$的特征多项式中$z^{n-1}$的系数的相反数
• 矩阵的迹
  定义方阵$A$的迹为其对角线元素之和,记作$\text{trace}\ A$
• $AB$的迹等于$BA$的迹
  如果$A$和$B$是相同阶数的方阵,那么$\text{trace}(AB)=\text{trace}(BA)$
• 算子的矩阵的迹不依赖于基
  设$T\in\mathcal L(V)$,如果$u_1,...,u_n$和$v_1,...,v_n$是$V$的基,则

$$\text{trace}\ \mathcal M(T,(u_1,...,u_n))=\text{trace}\ \mathcal M(T,(v_1,...,v_n))$$

• 算子的迹等于矩阵的迹
  若$T\in\mathcal L(V)$,则$\text{trace}\ T=\text{trace}\ \mathcal M(T)$
• 迹是可加的
  若$S,T\in\mathcal L(V)$,则$\text{trace}(S+T)=\text{trace}\ S+\text{trace}\ T$
• 恒等算子不是$ST$和$TS$的差
  不存在算子$S,T\in\mathcal L(V)$使得$ST-TS=I$

10.B 行列式

算子的行列式

• 定义:算子的行列式
  设$T\in\mathcal L(V)$
  • 若$\bf F=C$,则$T$的行列式是$T$的按重数重复的全体本征值之积
  • 若$\bf E=R$,则$T$的行列式是$T_{\bf C}$的按重数重复的全体本征值之积

T的行列式记作$\text{det}\ T$.

• 行列式和特征多项式
  设$T\in\mathcal L(V),\ n=\text{dim}\ V$,则$\text{det}\ T$等于$(-1)^n$乘以$T$的特征多项式的常数项
• 特征多项式、迹和行列式
  设$T\in\mathcal L(V)$.则$T$的特征多项式可以写作$z^n-(\text{trace\ }T)z^{n-1}+\cdots+(-1)^n(\text{det\ }T)$
• 可逆等价于行列式非0
  $V$上的算子是可逆的当且仅当它的行列式是非零的
• $T$的特征多项式等于$\text{det}(zI-T)$

矩阵的行列式

• 排列
  $(1,...,n)$的一个排列是一个组$(m_1,...,m_n)$,$1,...,n$中的每个数恰好在其中出现一次
  $(1,...,n)$中的所有排列组成的集合记为$\text{perm}\ n$
• 排列的符号
  • 如果在组$(m_1,...,m_n)$中使得$1\leq j<k\leq n$且$j$出现在$k$之后的整数对$(j,k)$的个数为整数,那么排列的符号定义为$1$,反之定义为$-1$
  • 也就是说,如果自然顺序被改变偶数次,排列的符号等于$1$;反之等于$-1$
• 矩阵的行列式
  $n\times n$矩阵

$$\begin{pmatrix} A_{1,1}&\cdots&A_{1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{n,1}&\cdots&A_{n,n} \end{pmatrix}$$

的行列式定义为:

$$\text{det}\ A\ =\ \sum_{(m_1,...,m_n)\in\text{perm}\ n}(\text{sign}(m_1,...m_n))A_{m_1,n}\cdots A_{m_n,n}$$

• 交换矩阵的两列
  $A$和$B$是通过交换两列得到的矩阵,则$\text{det}\ A\ =\ \text{det}\ B$
• 具有两相同列的矩阵
  若$A$有两列值相同的,则$\text{det}\ A=0$
• 重排矩阵的列
  设$A\ =\ (A_{\cdot,1},...,A_{\cdot,n})$是$n\times n$矩阵,$(m_1,...m_n)$是一个排列,那么:

$$\text{det}(A_{\cdot,1},...,A_{\cdot,n})=(\text{sign}(m_1,...,m_n))\text{det}\ A$$

• 行列式是每一列的线性函数
  设$k,n$是满足$1\leq k\leq n$的正整数,固定除了$A_{\cdot,k}$之外的那些$n\times 1$矩阵$A_{\cdot,1}...$,那么把$A_{\cdot,k}$映射为:

$$\text{det}(A_{\cdot,1},...,A_{\cdot,k},...,A_{\cdot,n})$$

的函数,是从$\bf F$上的$n\times 1$矩阵构成的向量空间到$\bf F$的线性映射

• 行列式是可乘的
  若$A$和$B$是大小相同的方阵,则$\text{det}(AB)\ =\ \text{det}(BA)\ =\ \text{det}(A)\text{det}(B)$
• 算子的行列式并不依赖于基,且等于其矩阵的行列式
• 算子的行列式是可乘的
  设$S,T\in\mathcal L(V)$,则$\text{det}(ST)\ =\ \text{det}(TS)\ =\ \text{det}(S)\text{det}(T)$