Chapter 8 复向量空间上的算子

线性代数学习笔记第八章，参考教材为《Linear Algebra Done Right》。

8.A 广义本征向量和幂零算子

算子幂的零空间

• 递增的零空间序列
  设$T\in\mathcal L(V)$,则:

$$\{0\}\subset\text{null}\ T^0\subset\text{null}\ T^1\subset\cdots\subset\text{null}\ T^k\subset\text{null}\ T^{k+1}\subset\cdots$$

• 零空间序列中的等式
  设$T\in\mathcal L(V)$.设$m$是非负证书使得$\text{null}\ T^m=\text{null}\ T^{m+1}$,则:

$$\text{null}\ T^m=\text{null}\ T^{m+1}=\text{null}\ T^{x+2}=\cdots$$

• 零空间停止增长
  设$T\in\mathcal L(V)$.令$n=\text{dim}\ V$,则:

$$\text{null}\ T^n=\text{null}\ T^{n+1}=\cdots$$

• $V$等于$\text{null}\ T^{\text{dim\ }V}$和$\text{range}\ T^{\text{dim\ }V}$的i直和
  设$T\in\mathcal L(V)$.令$n=\text{dim}\ V$,则:$V=\text{null}\ T^n\oplus\text{range\ }T^n$

广义本征向量

• 广义本征向量
  设$T\in\mathcal L(V)$,$\lambda$是$T$的本征值.向量$v\in V$成为$T$的相应于$\lambda$的n广义本征向量,如果$v\neq 0$且存在$j\in\bf N^*$使得$(T-\lambda I)^jv=0$
• 广义本征空间
  设$T\in\mathcal L(V)$并且$\lambda\in\bf F$,则$T$的相对应于$\lambda$的广义本征空间定义为$T$的相应于$\lambda$的所有广义本征向量的集合,包括$0$向量
  设$T\in\mathcal L(V),\ \lambda\in\bf F$,则:$G(\lambda,T)=\text{null}(T-\lambda I)^{\text{dim}\ V}$
• 线性无关的广义本征向量
  设$T\in\mathcal L(V)$,$\lambda_1,...,\lambda_m$是$T$的o所欲不同的本征值,$v_1,...,v_m$分别为相应的广义本征向量,则$v_1,...,v_m$线性无关.

幂零算子

• 幂零的
  一个算子成为幂零的,如果它的某个幂等于$0$
• $n$维空间上幂零算子的$n$次幂等于$0$
• 幂零算子的矩阵
  设$N$是$V$上的幂零算子,那么$V$有一个基使得$N$关于这个基的矩阵形如:

$$\begin{pmatrix} 0&&*\\ &\ddots&\\ 0&&0 \end{pmatrix}$$

算子的分解

• $p(T)$的零空间和像空间在$T$下是不变的
• 复向量空间上算子的刻画
  假设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.设$\lambda_1,...,\lambda_m$是$T$的不同本征值,则:
  • $V=G(\lambda_1,T)\oplus \cdots\oplus G(\lambda_m,T)$
  • 每个$G(\lambda_j,T)$在T下都是不变的
  • 每个$(T-\lambda_j I)|_{G(\lambda_j,T)}$都是不变的
• 广义本征向量的基
  设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$,则$V$有一个由$T$的广义本征向量组成的基.

本征值的重数

• 重数
  设$T\in\mathcal L(V)$.$T$的本征值$\lambda$的重数定义为相应的广义本征空间$G(\lambda,T)$的维数.
• 重数的等于$\text{dim}\ V$
  设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.则$T$的所有本征值的重数之和等于$\text{dim}\ V$.

分块对角矩阵

• 分块对角矩阵
  分块对角矩阵是形如:

$$\begin{pmatrix} A_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_m \end{pmatrix}$$

的方阵,其中$A-1,...,A_m$位于对角线上且为方阵,矩阵上的其他元素都等于$0$

• 具有上三角块的分块对角矩阵
  假设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.设$\lambda_1,...,\lambda_m$是$T$的所有互不相同的本征值,重数分别为$d_1,...,d_m$,则$V$有一个基使得$T$关于这个基有分块对角矩阵

$$\begin{pmatrix} A_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_m \end{pmatrix}$$

其中每个$A_j$都是如下形式的$d-j\times d_j$上三角矩阵:

$$\begin{pmatrix} \lambda_1&&*\\ &\ddots&\\ *&&\lambda_j \end{pmatrix}$$

平方根

• 恒等加幂零有平方根
  设$N\in\mathcal L(V)$,则$I+N$有平方根
• $\bf C$上可你算子有平方根
  设$V$是复向量空间,如果$T\in\mathcal L(V)$是可逆的,则$T$有平方根

8.C 特征多项式和极小多项式

凯莱-哈密顿定理

• 特征多项式
  设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.令$\lambda_1,...,\lambda_m$表示$T$的所有互不相同的本征值,重数分别为$d_1,...,d_m$,多项式

$$(z-\lambda_1)^{d_1}\cdots(z-\lambda_m)^{d_m}$$

成为$T$的特征多项式

• 特征多项式的次数和零点
  设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.则:
  • $T$的特征多项式的次数等于$\text{dim\ }V$
  • $T$的特征多项式的零点恰好是$T$的本征值
• 凯莱-哈密顿定理
  设$V$是复向量空间,$T\in\mathcal L(V)$.令$q$表示$T$的特征多项式,则$q(T)=0$

极小多项式

• 首一多项式
  首一多项式是指最高次数的项的系数为$1$的多项式
• 极小多项式
  设$T\in\mathcal L(V)$则存在唯一一个次数最小的首一多项式$p$使得$p(T)=0$
  设$T\in\mathcal L(V)$则$T$的极小多项式是唯一一个使得$p(T)=0$的次数最小的首一多项式
• $q(T)=0$表示$q$是极小多项式的一个倍式
  设$T\in\mathcal L(V),\ q\in\mathcal P(\bf F)$.则$q(T)=0$当且仅当$q$是$T$的极小多项式的多项式倍
• 特征多项式是极小多项式的多项式倍
  设$\bf F=C$,$T\in\mathcal L(V)$.则$T$的特征多项式是$T$的极小多项式的多项式倍
• 本征值是极小多项式的零点
  设$T\in\mathcal L(V)$.则$T$的极小多项式的零点恰好是$T$的本征值.

8.D 若尔当形

• 对应于幂零算子的矩阵
  设$N\in\mathcal L(V)$是幂零的,则存在向量$v_1,...,v_n\in V$和非负整数$m_1,...,m_n$使得:
  • $N^{m_1}v_1,...,Nv_1,v_1,...,N^{m_n}v_n,...,Nv_n,v_n$是$V$的基
  • $N^{m_1+1}v_1=...=N^{m_n+1}v_n=0$
• 若尔当基
  设$T\in\mathcal L(V)$.$V$的基称为$T$的若尔当基,如果$T$关于这个基具有分块对角矩阵:

$$\begin{pmatrix} A_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_p \end{pmatrix}$$

其中每个$A_j$都是形如

$$\begin{pmatrix} \lambda_j&1&&0\\ &\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&1\\ 0&&&\lambda_j \end{pmatrix}$$

• 若尔当形
  设$V$是复向量空间,如果$T\in\mathcal L(V)$,则$V$有一个基是$T$的若尔当基